Многим наверняка известны такие парадоксальные объекты, как нетранзитивные игральные кости: игральный кубик $А$ чаще побеждает $В$, чем проигрывает ему; кубик $В$ чаще побеждает $С$, чем проигрывает ему; но кубик $С$ чаще побеждает $А$, чем проигрывает ему, — по принципу игры «Камень, ножницы, бумага». По мнению Мартина Гарднера, нетранзитивные игральные кости «позволяют глубже осознать значение недавних открытий, связанных с общим классом вероятностных парадоксов, в которых нарушается правило транзитивности. С помощью любого из этих наборов игральных костей вы можете держать пари в условиях, настолько противоречащих интуиции, что опытные игроки почти не в состоянии разобраться в них, даже если они полностью проанализируют ход игры».

Изобретено уже немало наборов нетранзитивных костей, обладающих разными свойствами. Это кости Брэдлм Эфрона, изначально описанные Мартином Гарднером; кости Т. Бирдон с числами $\pi$, $e$, $\phi$; кости Дж. Грайма, такие, что при удвоении набора (игрок бросает две одинаковые кости одновременно) меняется направление «битья» (если в одинарном наборе $A > B > C >A$, то в двойном $AA < BB < CC < AA$; кости О. ван Девентера для игры втроем (какие бы кости ни выбрали первые два игрока, третий всегда может выбрать такую, которая будет чаще «бить» первые две, чем проигрывать им); кости для игры вчетвером Э. Пегга мл. и т. д.

Все эти разные наборы нетранзитивных костей можно сравнить друг с другом и однозначно линейно упорядочить по степени нетранзитивности: есть наборы, в которых она выражена слабо (кости побеждают друг друга с вероятностью чуть больше 50%), и есть наборы, в которых она выражена сильно(кости побеждают друг друга с вероятностью до 75% — это доказанный предел). Иными словами, наборы нетранзитивных костей можно упорядочить строго транзитивно.

Александр Поддьяков, доктор психологических наук, профессор НИУ ВШЭ, главный научный сотрудник ИП РАН ввёл понятие «метанетранзитивность». Он поставил вопрос: возможны ли метанетранзитивные системы? В каждой из таких систем есть нетранзитивные циклы превосходств, но и сами эти системы образуют свои нетранзитивные циклы.

Оказалось, что да — такие системы есть.

Алексей Лебедев, доктор физико-математических наук, доцент МГУ, автор публикаций по совершенно новой теме — изучение нетранзитивностей непрерывных распределений, создал новый вариант нетранзитивных костей. Это метанетранзитивные кости (метакости): три набора костей, в каждом из которых кости образуют свой нетранзитивный круг, а отношения между тремя наборами тоже нетранзитивны.

Устроены они так (далее цитирую Алексея Лебедева). «На каждой грани кости пишется не одно, а три числа: красное, зеленое и синее. После каждого броска костей игрок получает фишку соответствующего цвета, если у него выпало красное, синее или зеленое число больше, чем у противника (это не взаимно исключающие случаи, больше могут быть одновременно два или все три числа). Считаем, что одна кость превосходит другую, если средние выигрыши по всем цветам фишек больше $1/2$. Выигрышности набора костей считаем отдельно по каждому цвету (т.е., это три числа). Считаем, что один набор костей превосходит другой, если он превосходит его по выигрышностям хотя бы для двух цветов.

Таким образом, каждый набор получается нетранзитивным, и набор этих наборов тоже нетранзитивен (в смысле введенных отношений превосходства на костях и наборах)».