Использование нетранзитивных костей влияет на результат игры со следующими правилами:

Первый игрок выбирает игровую кость из набора.

Второй игрок выбирает одну из костей, которые остались в наборе после выбора первого игрока.

Оба игрока бросают свои кости; выигрывает игрок, у которого выпало большее число.

При использовании транзитивных костей преимущество в игре имеет первый игрок, который может выбрать кость, результат броска которой с вероятностью минимум 50 % будет больше результата броска любой другой кости из набора. В случае же использования набора нетранзитивных костей преимущество получает второй игрок, который, независимо от выбора первого игрока, может выбрать из оставшихся костей такую, бросание которой с вероятностью более 50% превысит результат первого игрока.

Кости Эфрона — набор из четырёх нетранзитивных костей, изобретенный Брэдли Эфроном.

Четыре кости $A$, $B$, $C$, $D$ имеют на своих гранях следующие числа:

Результат броска каждой из кости из набора больше результата бросания следующей кости с вероятностью $2/3$:

${\displaystyle P(A>B)=P(B>C)=P(C>D)=P(D>A)={2 \over 3}}$

Результат бросания кости $B$ определен заранее; кость $A$ превысит этот результат в $2/3$ случаев, поскольку числа на четырёх из шести его граней больше.

Аналогично, кость $B$ превысит результат $C$ с вероятностью $2/3$, поскольку у $C$ только на двух гранях числа большие.

$P(C>D)$ согласно результатам составления условных вероятностей двух событий:

При бросании $C$ выпадает $6$ (вероятность $1/3$); $C$ дает больший результат, независимо от результата бросания $D$ (вероятность $1$).

При бросании $C$ выпадает $2$ (вероятность $2/3$); $C$ дает больший результат, за исключением получения $5$ при бросании $D$ (вероятность $1/2$).

Суммарная вероятность выигрыша $C$, таким образом, составляет:

${\displaystyle \left({1 \over 3}\times 1\right)+\left({2 \over 3}\times {1 \over 2}\right)={2 \over 3}}$.

Аналогичным образом вероятность выигрыша при бросании $D$ по сравнению с бросанием $A$ составляет:

${\displaystyle \left({1 \over 2}\times 1\right)+\left({1 \over 2}\times {1 \over 3}\right)={2 \over 3}}$.

Четыре кости из набора Эфрона, впрочем, имеют разные вероятности выигрыша в игре против кости, выбранной случайным образом из оставшихся трех.

Согласно расчётам выше, бросание кости $A$ дает больший результат, чем бросание кости $B$, в двух третях случаев. Впрочем, $A$ может победить $D$ только в каждом третьем случае. Вероятность же лучшего результата при бросании $A$ по сравнению с бросанием $C$ составляет $4/9$ (на $A$ должно выпасть $4$ и на $C$ должно выпасть $2$). Таким образом общая вероятность получения большего числа при бросании $A$ , чем при бросании другой кости, выбранной случайным образом:

${\displaystyle {1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{4 \over 9}\right)={13 \over 27}}$.

Аналогично, $B$ побеждает $C$ с вероятностью $2/3$ и может победить $A$ в $1/3$ случаев. Вероятность для кости $B$ дать при бросании результат больший, чем при бросании кости $D$, составляет $1/2$ (вероятность выпадения $1$ на кубике $D$). Таким образом, вероятность победы $B$ над другой костью из набора:

${\displaystyle {1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{1 \over 2}\right)={1 \over 2}}$.

Кость $C$ побеждает $D$ в двух третях случаев и имеет вероятность $1/3$ выигрыша у кубика $B$. Вероятность её выигрыша у кубика $A$ составляет $5/9$. Совокупная вероятность победы $C$ над выбранным случайным образом «соперником»:

${\displaystyle {1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{5 \over 9}\right)={14 \over 27}}$.

Наконец, $D$ в $2/3$ случаев побеждает $A$ и в $1/3$ случаев побеждает $C$. Вероятность, что результат броска этой кости превысит результат бросания $B$, составляет $1/2$ (вероятность выпадения $5$ на $D$). Поэтому $D$ даст результат, больший, чем у выбранной случайным образом кости с вероятностью:

${\displaystyle {1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{1 \over 2}\right)={1 \over 2}}$.

Таким образом, кость $C$ является наилучшей из набора с точки зрения вероятности выпадения числа, большего чем результат бросания любой другой кости из набора. Для неё такая вероятность составляет $0,5185$. Кость $C$ также характеризуется наибольшим математическим ожиданием результата бросания — $31⁄3$ (для $A$ оно составляет $22⁄3$, а для $B$ и $D$ равно $3$).